حاسبة محدد مصفوفة 2×2

حول هذه الأداة

بالنسبة إلى المصفوفة 2×2 على الصورة [[a, b], [c, d]]، يكون المحدد det(A) = ad − bc ويكون الأثر tr(A) = a + d. ويقيس المحدد كيف تغيّر المصفوفة مقياس المساحة في التحويل الخطي الذي تمثله — فالمحدد الذي يساوي 0 يعني أن المصفوفة تطوي المستوى على خط مستقيم (فهي منفردة، غير قابلة للعكس)، بينما يعني المحدد السالب أن التحويل يقلب الاتجاه. ويساوي الأثر مجموع القيم الذاتية للمصفوفة، ويساوي المحدد حاصل ضربها، ولذلك يحدد الرقمان معًا القيم الذاتية للمصفوفة تحديدًا تامًا عبر المعادلة التربيعية λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0.

يستخدم طلاب الجبر الخطي هذا للتحقق من قابلية العكس وحل المنظومات 2×2 بقاعدة كرامر، بينما يستخدمه المهندسون ومبرمجو الرسوميات الحاسوبية لفهم كيف يؤثر تحويل ثنائي الأبعاد (دوران أو تحجيم أو قص) في المساحة والاتجاه. ويظهر أيضًا في التشفير (إذ يتطلب تشفير هيل مصفوفة مفتاح قابلة للعكس) وفي نظرية التحكم والفيزياء، حيث يكشف أثر مصفوفة منظومة صغيرة ومحددها سلوك الاستقرار.