2×2行列式計算ツール

この計算ツールについて

2×2 行列 [[a, b], [c, d]] では、行列式は det(A) = ad − bc、トレースは tr(A) = a + d です。行列式は、その行列が表す線形変換によって面積がどれだけ拡大縮小されるかを表します。行列式が 0 であれば、行列は平面を直線につぶします（特異であり、逆行列を持ちません）。行列式が負であれば、変換が向きを反転させることを意味します。トレースは行列の固有値の和に等しく、行列式は固有値の積に等しいので、この2つの数が合わさって、二次方程式 λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0 を通じて、行列の固有値を完全に特徴づけます。

線形代数を学ぶ学生は、これを可逆性の確認や、クラメルの公式による 2×2 連立方程式の解法に使います。技術者やコンピューターグラフィックスのプログラマーは、2次元の変換（回転、拡大縮小、せん断）が面積や向きにどう影響するかを理解するために使います。暗号（ヒル暗号では可逆な鍵行列が必要です）や、制御理論・物理学でも登場し、そこでは小さなシステム行列のトレースと行列式が安定性の挙動を明らかにします。